Решение уравнения 4 степени.
Феррари vs. ftvmetrics.

Реакция на опубликованную 12 января 2021 на Хабре работу «Формула решения уравнения 4 степени» свидетельствовала о том, что статья была недостаточно хорошо выстроена методически. Формулы не смогли постоять сами за себя.

Попробую исправить ситуацию.

Итак, уравнение 4 степени.

Сначала о методе Феррари.

Метод Феррари замечателен тем, что он отражает сущность уравнения 4 степени. Выделение полных квадратов приводит к появлению кубической резольвенты. В итоге уравнение можно представить в виде произведения двух квадратных многочленов.
Для уравнения 5 и 6 степени прием, связанный с выделением полных квадратов или кубов, очень быстро заканчивается ничем. Мне кажется, что именно это обстоятельство реально породила тезис о невозможности решения в радикалах уравнений выше 4 степени.

Уравнение резольвенты:

Произведение двух квадратных многочленов, полученных методом Феррари.

Коэффициенты выражения, стоящего в правой части тождества.

Далее подставляем выражение для F^3 из резольвенты и получаем исходный многочлен 4 степени.

Единственное, что надо отметить, что резольвента проявляется только при вычислении свободного члена.

Корни одного и того же уравнения должны быть тождественны независимо от того, каким методом получены.
На практике в зависимости от использованного метода получаются корни, о которых в их символическом представлении сложно сказать тождественны они или нет. Почему бы не иметь еще один метод решения, который в некоторых случаях дает более простые символические представления корней. Такая возможность важна при подборе значений параметров корней и сопряжении корней нескольких уравнений.

Отличия метода ftvmetrics от метода Феррари:

- другие вспомогательные уравнения (резольвенты);
- вспомогательные уравнения «работают» не на свободном члене, а на коэффициентах при первой и второй степенях;
- есть возможность вычисления двух корней уравнения 4 степени из кубического уравнения, представленного в канонической форме.

Первое решение.

Было приведено в поименованной в начале статье.

Вспомогательное уравнением

Произведение квадратных многочленов, тождественное уравнению 4 степени после неоднократной замены R^3

Вместо решения каждого из квадратных многочленов, указанных выше, в методе ftvmetrics можно найти корни кубического уравнения

Два из них будут корнями уравнения 4 степени.
При этом появляется возможность выражения корней через экспоненты или тригонометрические функции.

Убедится в корректности альтернативного уравнения можно, вычислив субрезультанты и проверив два первых значения

Получаемые выражения субрезультантов «зверские», но когда известно, что ищешь — все не так грустно.

Второе решение.

Вспомогательное уравнение

имеет канонический вид.

Произведение квадратных многочленов, тождественное уравнению 4 степени после неоднократной замены R^3

Корректность альтернативного уравнения также проверяется через субрезультанты

Во втором решении вспомогательное и альтернативное уравнения имеют каноническое представление.

Любопытно получить нечто новое спустя 400 лет.